姓 名

马志辉

职   称

讲师

总学时

  88

使用教材

《高等数学》 高等数学出版社

课

程

教

学

目

的

高等数学是高等院校物理学科的重要基础课，是深入学习专业课程必备的基础，通过本课程的学习，使学生掌握空间解析几何和矢量代数、多元函数的微积分学、重积分、曲线积分、曲面积分、矢量分析初步的基本概念、基本方法和基本原理以及无穷级数、反常积分和含参量积分的基本内容，在此基础上培养学生的运算能力、抽象概括的能力、逻辑思维能力，解决实际问题的能力。接受现代数学思想，养成良好的学习习惯。

学

时

分

配

章   次

章         名

学  时

五

空间解析几何和矢量代数

16

六

多元函数微分学

16

七

重积分  

14

八

曲线积分 曲面积分 矢量分析初步

16

九

级数

18

十

广义积分和含参变量积分

8

教  学

目  的

通过建立空间直角坐标系，使有序数组与空间的点之间建立一一对应关系，从而通过代数的方法研究图形的性质，培养学生空间的概念。

教

学

内

容

§7—1  空间直角坐标系

1、介绍本章的基本任务和主要内容

2、建立空间直角坐标系

3、空间两点的距离公式

4、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：1、对空间直角坐标系的理解及点与有序数组之间的一一对应关系的理解。

          2、空间两点的距离公式。

教学难点：空间直角坐标系建立的思想。

教学方法：结合中学的平面解析几何知识，解释平面直角坐标系中的点与有序数组之间的一一对应关系和研究平面图形的思想。突出点的理解、图形的理解；进而将二维推广到三维空间，使学生体会它们的异同。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生掌握向量的代数运算。

教

学

内

容

1、   向量概念

什么叫向量、向量的表示、向量的模、单位向量、零向量、向径、自由向量、向量的相等。

2、向量的加、减法

平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，运算的性质。

3、向量数乘运算

向量数乘的定义、性质，两个向量平行的充要条件，向量方向的单位。

4、例题：

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：自由向量的理解、向量的加、减法、向量数乘运算、两个向量平行的充要条件、。

教学难点：自由向量的理解、向量数乘运算。

教学方法：1、结合中学物理学上矢量的概念抽象出向量的概念。分析向量的  有向性和大小性的特点，说明用有向线段表示向量的合理性。重点突出自由向量的特点。

          2、结合力的合成引出向量加法的概念，用归纳法说明多个向两相加的多边形法则，并有此说明加法。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过引入向量的坐标表示，使向量的有关运算和性质转化成数的运算和数的性质。通过比较使学生从中体会向量坐标表示法的优越性。

教

学

内

容

1、建立向量与有序数之间一一对应的关系，从中引入向量坐标的概念、向量在坐标轴上的投影及向量在坐标轴上的分向量的概念

2、利用向量的坐标表示向量的模和向量的方向

3、利用向量的坐标表示向量的加、减法和数乘运算，并给出的公式

4、的坐标所满足的条件

5、，使得

6、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点： 1、向量的坐标表示

           2、向量的模的和方向的坐标公式、的公式

           3、两向量平行的冲充要条件

教学难点： 1、向量与有序数组之间一一对应关系的理解；

           2、向量的模和方向的坐标表示。

教学方法： 1、通过平行移动将空间中任一方向的起点放在原点上，从而建立向量与有序数组的一一对应关系，突出自由向量的概念。

           2、从向量的两个基本要素模的方向出发给出它们的坐标表示。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

引入向量的数量积和向量积，为后继课程服务

教

学

内

容

一、两向量的数量积

1、两向量的夹角、两向量的数量积的概念、特别情形：、

   两向量的夹角公式：、不等式：

2、两向量数量积性质

3、数量积的坐标表示

4、

二、两向量的向量积

向量积的定义、特别说明、向量积的性质、向量积的坐标表示

三、例题  

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：数量积和向量积的定义 、两向量间夹角公式、及它们的坐标

表示

教学难点：向量积的定义

教学方法：结合物理学中功、力矩的概念引入两向量的数量积和向量积，并配大量的例题予以应用，使学生从中体会并能应用数量积和向量积解决一些基本题目。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过引入曲面及其方程的概念，并建立球面、旋转曲面、柱面方程，使学生对这些曲面及更一般的曲面有更深刻的认识。

教

学

内

容

一、曲面方程的概念：曲面的几何解释、曲面与方程的关系、空间解析几何中关于曲面的研究的两个基本问题。

二、旋转曲面：旋转曲面的定义、方程的建立。

三、柱面：柱面的定义、柱面方程的建立。

四、例题。

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：曲面与方程间的关系。通过方程识别该方程所表示曲面的类型和曲面形状并能画出图形来。

教学难点：对曲面与方程间的关系的理解。旋转曲面和柱面与表示它们方程之间联系即如何通过它们的方程识别其图形。

教学方法：通过分析平面解析几何研究图形的基本思想，建立曲面和方程的概念，并以球面、旋转曲面和柱面为例说明曲面与方程间的关系，突出如何通过方程识别其所表示的曲面。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

建立平面方程，通过平面，方程对平面的有关性质和平面间的关系进行研究，使学生从中体会到方程的作用和向量的作用。

教

学

内

容

一、决定平面的各种条件，点法式是最基本的

二、平面的点法式方程

三、平面的一般式方程和截距式方程、平面的一般式方程与平面的点法式方程的关系

四、两平面的夹角、两平面间的关系。

五、点到平面的距离公式

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：

1、平面的各种方程

2、两平面的夹角公式

      3、两平面的位置关系

      4、点到平面的距离公式

教学难点：对如何将立体几何中决定平面的条件转化的空间解析几何中的向量的条件的理解。

教学方法：通过对学生再立体几何中所熟悉的决定平面各种条件的分析，将这些条件转化的向量的条件，说明点法式为最基本的。建立平点法式方程，突出向量的作用推导两平面夹角公式和点到平面的距离公式。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过建立直线的各种方程来研究直线间的关系和直线与平面的关系

教

学

内

容

一、空间直线的一般方程

二、空间直线的对称式方程与参数方程，以及它们的关系

三、两直线的夹角、两直线垂直、平行的条件

四、直线与平面的夹角、直线与平面垂直、平行的条件

五、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：

1、直线各种方程间的关系

2、直线间的关系

      3、直线与平面的关系

教学难点：

1、空间直线的理解

2、直线与平面综合题目的处理

教学方法：通过直观解释空间直线，并结合空间几何决定直线的条件的说法来建立空间各种直线的方程。利用向量的性质给出直线间的关系和直线与平面的关系，并通过大量的例题培养学生综合解题的能力。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

   通过二次曲面分类和形状的分析，使学生对二次曲面有较清楚的认识并会

画出某些常用的二次曲面的图形

教

学

内

容

一、一般的二次曲面，空间平面曲线的说明，截痕曲线，截痕法

二、二次曲面的标准形式及其曲面的形状

    1、椭球面：特别情形即球面

    2、双曲面：单叶双曲面，双叶双曲面，特别情形即旋转双曲面

    3、抛物面：椭圆双抛物面、双曲抛物面，特别情形即旋转抛物面

    4、柱面或直线

    5、锥面，特别情形即圆锥面

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：椭球面、球面、双曲面、抛物面、柱面、锥面

教学难点：截痕法的理解，各类二次曲面图形的描绘

教学方法：通过空间平面曲线的位置和形状的说明，引入截痕曲线和截痕法，

          在利用截痕法分析二次曲面后准确的画出曲面的图形，结合旋转曲面说明二次曲面由方程所确定的空间位置。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过多元函数基本概念的引入和分析，使学生对一元函数与多元函数的异同有深刻的认识，从而训练学生的数学思维能力

教

学

内

容

一、区域：邻域、内点、并集、边界点、区域、闭区域、聚点、n维空间。

二、多元函数：以二元函数为例说明有关函数的概念。

三、多元函数的极限：主要说明二元函数的极限的异同及如何判定二元函数的

极限不存在

四、多元函数的连续性与间断

五、有界闭区域上连续函数的性质、多元初等函数

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：

1、如何判定二元函数的极限不存在。

2、有界闭区域上连续函数的性质、多元初等函数连续的结论。

教学难点：从一元函数的概念推广到多元函数有些地方有本质的区别，将如何理解

教学方法：结合具体实例说明一元函数推广到多元函数的必要性，再结合一元函数引入多元函数有关概念，从多个自变量出发说明产生新问题的原因。并结合极限过程说明如何理解新问题即与一元函数相应地方的本质区别。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生理解偏导数的概念，并会熟练地计算偏导数和高阶偏导数，了解偏导数的几何意义并记住“偏导数存在函数未必连续”的结论

教

学

内

容

一、偏导数的定义，偏导函数，偏导数的计算，例题

二、偏导数的几何意义

三、偏导数存在与函数连续的关系、例题

四、高阶偏导数、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：偏导数的计算和高阶偏导数的计算

教学难点：

1、偏导数几何意义的理解

      2、偏导数存在与函数连续的分析

教学方法：1、通过偏导数的概念的引入和分析，给出偏导数和高阶偏导数的   计算公式，并通过大量例题说明如何求偏导数和高阶偏导数。

          2、通过偏导数概念的分析说明偏导数的几何意义。

          3、通过偏导数概念和函数连续性概念的分析并结合图形和例题说明“偏导数存在函数未必连续和连续未必偏导数存在”的结论，从中使学生明白此结论与一元函数相应结论的本质区别。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节学习使学生会求全微分和应用全微分做简单的近似计算，并从中体会全微分的意义。了解可微分、偏导数存在和函数连续的进一步关系。

教

学

内

容

一、全微分的定义：偏增量和偏微分、全增量、全微分

二、函数可微分与连续的关系、函数可微分的必要条件、函数可微分的充分条件、全微分叠加原理

三、例题

四、全微分在近似计算中的应用 

近似公式：

例题：计算的近似值。

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：全微分的计算

教学难点：如何理解：偏导数存在、连续、可微三者之间的关系            

教学方法：结合一元函数微分的有概念和应用，引入多元函数全微分的概念和说明简单的应用，通过理论证明和几何分析说明：可微分、偏导数和连续的进一步关系，并由此给全微分的计算公式。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

    通过本节学习使学生正确的理解多元复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，并能熟练的计算复合函数的偏导数和二阶偏导数。

教

学

内

容

一、   多元复合函数的概念

1、，，

2、，，

3、，，，

二、   求导法则

三、   例题

四、   全微分的形式不变性

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：多元复合函数的各种求导公式及其举例

教学难点：如何求多复合函数的二阶导数或偏导数

教学方法：通过引入多元复合函数的概念，说明多元复合函数的各种复合形式，并提出如何求多元复合函数的导数。以全导数定理为例进行展开并进一步推广到各种形式的复合函数求偏导数中给出求导公式；在求二阶偏导数时，着重强调和仍是复合函数，对它们求导时仍要用复合函数的求导法则。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生能正确地理解多元隐函数的概念。并能熟练地求出一个方程式所求出的隐函数的一阶偏导数和二阶偏导数及有关导数。

教

学

内

容

（一）        一个方程的情形：

1、 ，如何求，？

      2、，如何求，，？

3、例题

（二）        方程组的情形：

1、 ，如何求，？

2、 ，如何求，？

3、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：由一个方程所决定的隐函数的求导公式及其举例。

教学难点：由方程组所决定的隐函数的求导公式及高阶导数。

教学方法：通过方程求解的观点出发引入隐函数的概念和各种形式的隐函数。

并说明函数的存在性，进一步提出求导问题。然后推出导数公式再结合例题加以应用的训练。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生获得空间曲线的切线与法平面和曲面的切平面与法线的知识，并会求它们的方程。

教

学

内

容

一、空间曲线的切线与法平面

1、空间曲线方程为参数方程的情形：曲线：，切线的方向向量切线的方程、法平面的方程。

2、空间曲线方程为一般方程的情形：曲线，如何求曲线的切线的方向向量、切线方程、法平面方程。

3、例题

二、曲面的切平面与法线

1、曲面方程为情形：如何求曲面在某点的切平面？切平面的法向量，切平面方程、法线方程。

2、曲面方程为的情形：切平面的法向量，方向向上的法向量的单位余弦，全微分的几何意义。  

3、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：切线的方向向量的求法及切线方程的求法、切平面的求法、法向量的求法及法向量的单位余弦的求法。

教学难点：切线及切平面的分析，空间曲线为一般方程时如何求切线方向向量及切线方程。

教学方法：提出问题，通过分析推导得出问题的答案。

作业、思考

题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节学习，使学生对向量的有关知识有更进一步的理解，了解方向导数和梯度的有关概念及它们之间的关系。

教

学

内

容

一．   方向导数

1、方向导数引入的实际必要性：众多的物理现象告诉我们,必须研究函数沿着某些方向的变化率。例如：热的空气要向冷的地方流动，因此气象学便需要确定大气温度；气压沿着某些方向的变化率；对于流体，磁力线之类的东西，则往往要研究它们沿着曲面之法线方向的流量等等。这样就提出必须研究函数沿着任意方向的变化率，这就是本节所要将的方向导数了。

2、方向导数的定义（二元函数的情形）

3、方向导数的计算公式

4、例题

5、三元函数的方向导数及其计算公式

二、梯度

1、   梯度的定义、梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。

2、   三元函数的梯度及其几何意义。

三、简单介绍数量场、向量场、梯度场

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：方向导数与梯度的计算。

教学难点：方向导数与梯度的理解。

教学方法：通过实际问题引入方向导数的概念，以向量为工具分析方向导数与梯度的关系。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生能够掌握多元函数求极限的方法，并能用此方法解决某些最大值和最小值方面的应用题。

教

学

内

容

一、多元函数的极值及其最大、最小值

1、极值的定义、极值点

2、极值的必要条件、驻点

3、极值的充分条件

4、求极值的步骤

5、例题

6、最大值、最小值问题及其解法

7、例题。

二、 条件极值

1、什么是条件极值？

2、如何求条件极值？

3、拉格朗日乘数法

4、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：极值的求法，某些最大值、最小值方面的应用题，拉格朗日乘数法。

教学难点：条件极值问题中拉格朗日乘数法的获得。

教学方法：1、回忆一元函数的概念及其求法的基础上引入多元函数极值的问题，给出多元函数极值的概念，提出问题—如何求多元函数的极值？解决此问题的方法：能给出极值的必要条件，然后给出极值点的判定即极值的充分条件，最后，结合极值的必要条件和充分条件给出求极值的方法即求极值的步骤。

          2、通过分析极值和最值的关系，提出最值问题和解决方法。

          3、说明条件极值，提出如何求条件极值？通过步步分析给出条件极值的必要条件即拉格朗日乘数法。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节学习，使学生了解二重积分的概念及本章所要的内容和结构

教

学

内

容

一、   本章内容简介

（一）二重积分

1、二重积分的概念和性质

2、二重积分的计算方法，直角坐标的情形，柱面坐标的情形

3、   积分的应用：求曲面的面积，求平面薄片的质量，重心及转动惯量，求立体的体积，求平面薄片对质点的引力。

（二）三重积分

1、三重积分的概念和性质

2、三重积分的计算方法，直角坐标的情形，柱面坐标的情形，球面的情形。

3、三重积分的应用，求立体的体积，求空间物体的质量、重心、转动惯量及对质点的引力。

二、 二重积分的概念和性质

1、引入二重积分的实际需要：①求曲顶柱体的体积，②平面薄片的质量。

2、二重积分的定义、直角坐标系下的面积元素、极坐标系下的面积元素

3、曲顶柱体的体积公式、平面薄片的质量公式

4、二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积的代数和。

5、二重积分的性质。

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：二重积分的性质，曲形柱体的体积公式和平面薄片的质量公式

教学难点：二重积分的概念的理解

教学方法：按教案的安排进行讲解

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生熟练的掌握二重积分的计算法，并会求立体的体积和会交换积分的次序，熟记概率积分。

教

学

内

容

一、利用直角坐标系计算二重积分

1、平面区域的分类：

（1）—型：若平行于轴的直线与区域D的边界最多有两个交点，则称D为—型的区域（强调D的不等表示）

（2）—型：若平行于轴的直线与区域D的边界最多有两个交点，则称D为—型的区域（强调D的不等表示）

注：一般的有界闭区域可以分成有限个—型或—型的区域的并

2、利用直角坐标计算二重积分

（1）          视二重积分为以D为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积，利用平行截面面积已知立体的体积公式求该曲顶曲柱体的体积。

（2）             计算公式

二、 利用极坐标计算二重积分

1、极坐标下平面区域的表示

注：各种区域的边界与过极点的射线最多有两个交点，称这种形状的区域为极坐标点下的基本区域，一般区域总可以分成有限个基本区域的并

2、利用极坐标计算二重积分

3、闭区域D的面积在极坐标下的公式：

4、概率积分：

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：计算法，概率积分

教学难点：利用直角坐标计算二重积分公式的获得，平面区域的不等式表示

教学方法：回忆平行截面面积为已知的立体的体积公式，分析曲顶柱体给出二重积分的计算公式，利用换元的思想给出二重积分的极坐标计算公式。通过大量的例题使学生熟练掌握二重积的计算。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课后记

教  学

目  的

通过节的学习，使学生理解二重积分的元素法，掌握曲面的面积公式，了解二重积分在物理学上的应用。

教

学

内

容

一、   元素法：

求平面闭区域上的有关的总量问题

二、   曲面的面积：

设曲面由方程给出，D为曲面在面上的投影曲域，函数在D上具有连续偏导数和，求曲面的面积。

解决方法：局部以直代曲

面积微元：

面积公式：

三、   二重积分的物理应用：

       平面薄片的重心、转动惯量、对质点的引力

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：元素法、曲面的面积

教学难点：元素的应用及其理解

教学方法：通过二重积分的定义来说明二重积分的元素法，结合实例说明元素法的应用，给出曲面的面积公式、重心公式、转动惯量公式、引力公式。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生了解二重积分的概念和性质及掌握利用直角坐标计算

二重积分的方法

教

学

内

容

一、三重积分的概念及性质

1、三重积分的概念：

说明：（1）三重积分概念的前提：积分区域是有界的闭区域，被积分函数 在上有界。（2）直角坐标系中体积元素，因此在直角坐标系中三重积分可以记为：。（3）三重积分存在的充分条件：被积函数在积分区域上连续

2、三重积分的性质：三重积分的性质和二重积分类似

说明：（1）空间区域的体积公式：。（2）设表示物体在点处的体密度，是该物体所占的空间区域，若在上连续，则该物体的质量为：

二、利用直角坐标系计算三重积分：

1、空间区域在直角坐标系下的不等式表示表示，2、三重积分 的直角坐标系计算公式

三、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

重点：三重 积分的计算

难点：区域不等式表示的理解

教学方法：对照二重积分来处理三重积分，利用质量的处理给出三重积分的计算公式

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课后记

教  学

目  的

通过这节的学习，使学生了解柱面坐标系和球面坐标系，要会利用这两种坐标系计算三重积分。

教

学

内

容

一、利用柱面坐标计算三重积分

    1、柱面坐标系的建立、三组坐标面、直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系下体积元素

    2、利用柱面坐标计算三重积分的公式

    3、例题

二、利用球面坐标计算三重积分

1、   球面坐标系的建立，三组坐标面，直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系下体积元素

2、   利用球面坐标计算三重积分的公式

3、   例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：柱面坐标系下和球面坐标系下的三重积分的计算公式以及体积元素

教学难点：柱面坐标系下和球面坐标系下三重积分的计算公式的推导

教学方法：从确定空间点的位置出发引入柱面坐标系和球面坐标系，再利用三重积分的定义结合元素法给出这两种坐标系下三重积分的计算公式，并举例加以应用。与此同时说明空间曲面在不同坐标系下的方程和积分区域的表示。最后结合二重积分的物理应用简单说明三重积分的物理应用。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过这节的学习，使学生了解运用重积分解决实际问题（几何应用、力学中的应用）

教

学

内

容

一、几何应用

    求曲面面积

二、重积分在李学忠的应用

重积分的物理应用：物体的重心、转动惯量、物体对焦点的引力

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：物体的重心、转动惯量

教学难点：曲面面积、物体的重心、转动惯量公式推导

教学方法：从积分的定义入手，结合切平面和投影的关系得出面积元素，最后结合重积分的物理应用。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

复习巩固

教

学

内

容

一、二重积分计算方法总结

二、三重积分计算方法总结

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：二重积分计算、三重积分计算

教学难点：二重积分计算、三重积分计算

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过这节的学习，使学生理解对弧长的曲线积分的概念和掌握对弧长的曲线积分的计算以及了解该积分的物理应用。

教

学

内

容

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

   1、曲线形构件的质量：设曲线形构件所占的位置为面内一段曲线弧,它的端点是，在上任一点处，它的线密度为,求该构件的质量。          

   2、对弧长的曲线积分的定义：

        注：平面曲线形构件的质量

推广：（1）空间曲线的情形。（2）空间曲线形构件的质量

3、对弧长的曲线积分的性质

二、对弧长的曲线积分的计算法

三、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：对弧长的曲线积分的计算法.

教学难点：对弧长的曲线积分的计算公式的推导．

教学方法：通过引入曲线构件形度量的问题，并加以处理，给出对弧长的曲线积分的定义和性质及有关说明．对弧长的曲线积分的计算公式强调有关量之间的对应和转化，必须说明公式中下限一定要小于上限，并通过大量例题说明该积分的计算，结合例题说明该积分的物理应用．

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生理解对坐标的曲线积分的概念和性质，掌握该积分的计算方法，并了解两类曲线积分的联系。

教

学

内

容

一、对坐标的曲线积分的概念和性质

1、变力沿曲线所做的功

2、对坐标的曲线积分的定义

推广：空间曲线上的情形

3、对坐标的曲线积分的性质

二、对坐标的曲线积分的计算法

      推广：到空间曲线上的情形

三、例题

四、两类曲线积分之间的联系

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：该积分的计算法

教学难点：该积分计算公式的推导。

教学方法：通过变力沿曲线所做的功的问题的引入，给出对坐标的曲线积分的定义，通过比较弧长的推理给出该积分的计算公式并结合例题说明如何应用该公式计算该种积分，最后给出着两类曲线积分的联系并通过例题加以说明。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生熟悉格林公式，会判定曲线积分与路径无关，会做全微分求积以及利用格林公式做某些曲线积分方面的题目。

教

学

内

容

一、格林公式：

1、   有关概念：单连通区域、复连通区域、平面区域D的边界曲线L正方

向的规定。

2、   格林公式                   

3、   平面图形D的面积A

4、   例题

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

1、什么叫曲线积分与路径无关？2、曲线积分与路径无关的等价定义。3、曲线积分与路径无关判定的充要条件

说明：充要条件的要求区域G是单连通区域，且函数,在区域G内具有一阶连续偏导数的这两个条件之一不能满足，即结论不能保证成立

三、二元函数的全微分求积

  1、问题1：,满足什么条件时，表达式才是某个二元函数的全微分。

  2、二元函数的全微分求积定理

3、二元函数的全微分求积公式

教学重

点、难

点及教

学方法

重点：格林公式、曲线积分与路径无关的判定、二元函数的全微分求积

难点：各定理的证明

教学方法：本节各定理的证明理论性强、说明和严格证明相结合。不提过高的要求，只强调应用。通过大量的例题说明应用。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生理解对面积的曲面积分的概念，并掌握对面积的曲面积分的计算法

教

学

内

容

一、对面积的曲面积分的概念和性质

1、实例：设某个曲面形构件它的面积密度为 ，它与空间某张曲面一样大，求该构件的质量。

2、对面积的曲面积分的定义

3、对面积的曲面积分的性质

二、对面积的曲面积分的计算法

  注：对面积的曲面积分的计算公式与在个坐标面的投影有关。

三、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：对面积的曲面积分的计算法

教学难点：对面积的曲面积分的理解

教学方法：通过实例分析，说明引进对面积的曲面积分的必要性，从而抽象出对面积的曲面积分。对面积的曲面积分的计算公式的推导，强调换元和投影的思想,通过大量的例题使学生从中体会如何计算该积分。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生理解对坐标的 曲面积分的概念和性质，掌握该类积

分的计算法，理解有向曲面的概念和曲面的侧。

教

学

内

容

一、曲面的侧

1、   双侧曲面：设 是曲面上任一点，是过在曲面上任一不越过边界的闭曲线，曲面是光滑的。若在点的法向量的两个方向中取定了一个，让动点沿此闭曲线由 出发并回到 ，点处的法线方向就是由处所选方向连续转变过来的。当环行一周回到点时，法线方向总是与出发时的方向相同，则称这种曲面为双侧曲面。

2、   曲面的侧：在双侧曲面上取一点 ，在该点取定一个法线方向，那么在上一切点的法线方向就随之确定。曲面连同其法线方向合起来叫做曲面的侧。

3、   有向曲面：取定了侧的曲面称为有向曲面。

二、对坐标的曲面积分的概念和性质。

1、实例：求不可压缩的、均匀的、稳定的流体流向曲面一侧的流量

已知条件：曲面 ，侧为已知，速度场

2、对该坐标的曲面积分的定义

3、性质

三、计算法

四、再说有向曲面的侧

1、   曲面的方程：，上侧（）、下侧（）

2、   曲面的方程：，右侧（）、左侧（）

3、   曲面的方程：，前侧（）、后侧（）

4、   封闭：，外侧（法向量指向外）、内侧（法向量指向内）

五、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：理解有向曲面及其侧，计算该种积分。

教学难点：对有向曲面及其侧的理解。

教学方法：在讲清楚有向曲面及其侧的基础上，给出流量问题的解决方法，从中抽象出对坐标的曲面积分，定义采用对于面积的曲面积分来定义对坐标的曲面积分的形式，强调有向曲面，解决  的表示，给出该类积分的计算法并通过例题加以应用。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

本节学习后，使学生理解高斯公式、通量，了解旋度，并会用高斯公式解决一些较复杂的题目

教

学

内

容

一、   高斯公式

或 

注：其中∑是区域的边界并取外侧

二、例题

三、通量与散度

向量场通过曲面向着指定侧的通量（或流量） 

向量场 的散度记作=。  注：散度

注：向量场

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：高斯公式

教学难点：高斯公式的应用

教学方法：本节内容理论性比较强，对高斯公式的推导只作简单的说明，重点说明方向性。通过大量的例题强调高斯公式的应用。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的教学，使学生了解斯托克公式

教

学

内

容

一、   斯托克斯公式

其中正向与的侧符合右手规则。

二、   例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：斯托克公式

教学难点：斯托克公式的应用

教学方法：由于本节内容理论性比较强，按照大纲的要求只简单介绍，使学生知道这方面的知识。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的教学，使学生了矢量分析初步，掌握环流量与旋度

教

学

内

容

一、矢量函数的极限，连续喝微商

二、环流量、旋度

环流量：，     旋度：

其中

注：旋度

三、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：散度、旋度

教学难点：散度、旋度

教学方法：通过和标量函数的极限、连续和微商对比学习矢量函数的相关内容；散度和旋度是物理学两个比较重要的内容，重点分析讲解。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过学习，使学生理解无穷级数的有关概念和性能

教

学

内

容

一 、无穷级数的概念

1、   什么是无穷级数？前项的部分和级数的通项

2、   如何理解无穷级数？即如何定义无穷级数的和，前项部分和序列，级数的敛散性，余项，误差。

二、无穷级数的性质

1、   若和都收敛，则收敛，且

=

2、   若则与的敛散性一致

3、   在级数的面前部分去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性。即

    与的敛散性一致，其中为某个别整数。

4、 收敛级数加括号后所得的新级数仍然收敛于原来级数的和

推论：若加括号后所得的级数发散，则原来的级数也发散

三、级数收敛的必要条件

若级数收敛，则。    注：，则发散

四、两个重要级数：

1、等比级数：当时，收敛；当时，发散。

2、调和级数：发散。

五 、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：级数和的理解，级数的性质，级数收敛的必要条件

教学难点：级数和的理解，级数收敛的必要条件

教学方法：通过实际问题引入无穷级数的概念，对于无穷级数的性质分别给出证明，根据级数收敛的定义，利用极限推出级数收敛的必要条件，强调此条件不充分，并通过和级数的发散性加以说明。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的教学，使学生理解正项级数的概念，并掌握各种形式的审敛法，掌握交错级数收敛性的判定条件，了解绝对收敛和条件收敛的概念，并会利用正项级数的审敛法判定绝对收敛

教

学

内

容

一、   项级数及其审敛法

1、正项级数和正项级数收敛的必要条件

2、正项级数的比较审敛法，讨论—级数的敛散性

3、比较审敛法的极限形式

4、比值审敛法

5、根值审敛法

二、   交错级数及其审敛法

1、交错级数的定义     

2、莱布尼兹审敛法

三、   绝对收敛与条件收敛

1、什么是绝对收敛，条件收敛？

2、定理：如果级数的各项的绝对值所得的新级数收敛，则遇原级数收敛

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：各种形式的审敛法的应用

教学难点：各种形式的审敛法的证明

教学方法：在详细证明各种形式的审敛法的基础上，通过大量的例题说明其应用，并通过大量的练习题使学生掌握各种审敛法。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节学习，使学生了解一般函数项级数的概念，理解幂级数的有关概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间，会利用幂级数的分析性质求某些幂级数的和函数.

教

学

内

容

1、函数项级数的有关概念：函数项级数、收敛点、收敛域、发散点、发散域、

和函数、余项

2、幂级数的有关概念：幂级数、收敛点、收敛区间.

3、如何求幂级数的收敛区间？收敛半径？

4、幂级数的运算和分析性质

5、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：如何求幂级数的收敛区间？

教学难点：函数项级数和函数的理解、用分析性质求幂级数和函数.

教学方法：

1、利用常数项的有关知识分析函数项级数，给出收敛点、收敛域、发散点、发散域、和函数、余项等概念.

2、说明幂函数是函数项级数的一种，对于这个具体的级数给出收敛点、和收敛区间的概念，提出两个问题：

（1）          如何求幂级数的收敛区间？

（2）          如何在收敛区间上求幂级数的和函数？

利用阿贝尔定理解决第一个问题，引入收敛半径的概念并给出收敛半径的计算公式，通过收敛半径解决收敛区间的问题；利用幂级的运算和分析性质并结合等比级数的求和公式解决第二个问题，最后通过例题具体说明问题的处理。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节学习，使学生掌握几个基本初等函数的幂级数展开式，并利用它们求较复杂的函数的幂级数展开。

教

学

内

容

一、台劳级数

1、   麦克劳林级数：

2、   泰勒级数：

二、收敛定理及唯一性

1、   收敛定理：

2、   唯一性：一个函数在同一点的展开的幂级数是唯一的。

三、函数展开的幂级数

1、   函数展开的幂级数的一般步骤

2、   基本展开式：、、、、的幂级数展开式

4、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：麦克劳林级数，基本展开式

教学难点：利用收敛定理展开函数成幂级数

教学方法：1、复习泰勒多项公式，由此引入泰勒级数并进一步给出收敛定理。

          2、说明函数如何展开成幂级数，给出基本展开式。3、说明函数的幂级数展开式的唯一性，并利用唯一性和已知函数的幂级数展开式求其它复杂的函数的幂级数展开式

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节学习，使学生了解幂级数在近似计算中的应用、理解欧拉公式。

教

学

内

容

一、近似计算

1、   近似计算公式：

2、   误差分析公式：

3、   例题

二、欧拉公式

3、   简介复数项级数：，其中、为实数。

4、   定义（），其中、为实数

5、   欧拉公式：

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：欧拉公式

教学难点：误差分析，复数项级数

教学方法：

1、   通过大量的例题说明如何利用函数的幂级数展开式作近似计算。

2、   复习复数的知识，从而引入复数项级数，并利用实数项级数的知识定义复数项级数的收敛性，最后给出欧拉公式。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生了解傅立叶级数并将某些简单的函数展开成傅立叶级数。

教

学

内

容

一、三角函数级数、三角函数的正交性。

二、函数展开成傅立叶级数

  1、傅立叶级数

  2、收敛定理

  3、如何将函数展开成傅立叶级数

  4、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：傅立叶级数和函数如何展开成傅立叶级数。

教学难点：傅立叶级数的建立和函数如何展开成傅立叶级数。

教学方法：

1、说明引入三角函数的实际意义、提出问题：能否将一个周期为

的函数展开成三角函数。

          2、说明三角函数的正交性。

          3、对上面所提出的问题进行分析，给出傅立叶级数及收敛定理。

          4、说明将周期为的函数如何展开成傅立叶级数。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生能够利用函数的偶、奇性将周期为的函数展开成余弦级数或正弦级数

教

学

内

容

一、周期为为奇函数或偶函数展开成正弦级数或余弦级数问题

二、将定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数的问题。

三、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：如何利用函数的奇偶性将周期为的函数展开成傅立叶级数。如何将定义在上的函数展开成正弦级数和余弦级数。

教学难点：将定义在 上的函数展开成正弦级数和余弦级数。

教学方法：

1、说明周期为的奇函数和偶函数的傅立叶级数的性质，并给出它们的正弦级数和余弦级数。

2、说明如何将定义在上的函数进行奇、偶延拓和周期延拓，并进一步说明它们的正弦级数和余弦级数展开式的形成。

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

通过本节的学习，使学生能够定义在、上的函数展开成傅立叶级数。

教

学

内

容

一、   周期为的周期函数周期的转化

利用变量代换将周期为的周期函数周期的转化为的函数

二、   周期为的周期函数的傅立叶级数

三、例题

教学重

点、难

点及教

学方法

教学重点：周期为的周期函数的傅立叶级数

教学难点：周期为的周期函数的傅立叶级数

教学方法：利用变量代换将周期为的周期函数周期的转化为的函数，利用周期为的周期函数的傅立叶级数公式推导出周期为的周期函数的傅立叶级数

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教  学

目  的

复习课

教

学

内

容

复习本章所学内容

教学重

点、难

点及教

学方法

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教学

目的

使学生掌握反常积分的定义及计算。

教

学

内

容

1．无穷积分的概念引入。

2．无穷积分的性质。

3．柯西收敛准则，收敛判别法

4.绝对收敛

教学重

点、难

点及教

学方法

重点：无穷积分的计算。

难点：无穷积分的收敛性判别法和绝对收敛。

教学方法：通过正常积分的对比，得出无穷积分的计算方法。主要运用讲授法

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教学

目的

使学生掌握瑕积分的定义及计算。

教

学

内

容

1．瑕积分的概念引入。

2．瑕积分的性质。

3．收敛判别法

4.两种反常积分之间的关系

教学重

点、难

点及教

学方法

重点：瑕积分的计算。

难点：瑕积分的收敛性判别法。

教学方法：通过正常积分的对比，得出瑕积分的计算方法。主要运用讲授法

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教学

目的

含参变量的积分。

教

学

内

容

1．含参变量的积分的概念及其性质。

2．含参变量的反常积分的概念及其性质。

教学重

点、难

点及教

学方法

重点：

难点：1含参变量的积分的概念及其性质。

2.含参变量的反常积分的概念及其性质。

教学方法：由于本节内容为教材带※，教学大纲对学生不做要求，只给学生做简单介绍。主要运用讲授法

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记

教学

目的

期末总复习

教

学

内

容

本学期所学所有内容

教学重

点、难

点及教

学方法

作业、思考题（讨论题）、阅读材料

课

后

记