第三章  扭     转

§3-1 概  述

轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。

受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。

变形特征：各轴线仍为直线，各横截面绕轴作相对转动。扭转角：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变：直角的改变量。

工程实例：方向盘轴、传动轴。

§3–2     薄壁圆筒的扭转

薄壁圆筒：壁厚       （r0：为平均半径）。

一、实验：

1.实验前：①绘纵向线，圆周线；

②施加一对外力偶 m。

2.实验后：

①圆周线不变；

②纵向线变成斜直线。 

3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

        ②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ 。

        ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

微小矩形单元体如图所示：

①无正应力

②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力t ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。

4. γ 与φ的关系：

二、薄壁圆筒剪应力τ 大小： 

A0：平均半径所作圆的面积。

二、            
剪切胡克定律：

如图薄壁圆筒：

剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp），剪应力与剪应变成正比关系。

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ无量纲，故G的量纲与τ 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。

§3–3     传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图

在研究扭转构件的强度和刚度问题时，先计算出作用在构件上的外力偶矩及横截面上的内力。

一、外力偶矩的计算

如图4-3所示，通常外力偶矩不是直接给出的，而是与轴所输入功率之间有关系。

由于1kW=1000N·m/s，千瓦的功率相当于每分钟作功，单位为N·m；而外力偶在分钟内所作的功为

（N·m）

由于二者作的功应该相等，则有

所以

（N·m）                       （4-1）

式中：—输入功率（千瓦，kW）      —轴转速（r/min）

如果输入功率以马力计算，由于1马力=735.5 N·m/s，则个马力

所以

（N·m）   （4-2）

式中：—输入功率（马力）  

      —轴转速（I/min）

二、  扭转杆件的内力

以图6-1a 所示的扭转杆件为例，用截面法可求得该杆任一横截面 上只有扭矩 一个内力分量，其值为 （见图）。

扭矩的正负号规定：正的扭矩矩矢背向截面；负的扭矩矩矢指向截面。                

 某一横截面上的扭矩大小，等于该横截面同一侧绕轴线的全部外力偶矩的合力偶矩。

例1 转动轴如图6-3a所示，转速n=300rpm，主动轮A输入功率PA=22.1kW，从动轮B，C输出功率分别为PB=14.8kW，PC=7.3kW。试求1） 作用在轴上的外力偶矩；2） 横截面上的扭矩。   

解:  1）作用在轴上的外力偶矩

在工程实际中，对于传动轴等转动构件，通常只知道其转速与所传递的功率。因而，需根据转速与功率计算轴所承受的外力偶矩。

如果功率以W（瓦）为单位时数值为P，而以kW（千瓦）为单位时数值为Pk；转速以rad/s（弧度/秒）为单位时数值为ω，而以rpm(转/分)为单位时数值为n;则在数值上应有

而作功的外力偶矩（单位为 ）的数值为：                                         

     这可作为一个公式使用。

     因此，作用在轴上的外力偶矩（见图6-3b）                                                         

2） 计算横截面上的扭矩

与 段各截面扭矩均为零

段任一截面（图6-3c中Ⅰ——Ⅰ截面）

， ：解得

段任一截面（图6-3d中Ⅱ——Ⅱ截面）

， ：解得

表示扭矩和横截面位置之间关系的图线称作扭矩图。扭矩图的画法类似于轴力图，区别在于纵坐标表示的是扭矩而不是轴力。本例题的扭矩图见图6-3e。

例2  传动轴如图a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。试画出轴的扭矩图。

解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩

从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。

在BC段内，以表示截面I—I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图b所示。由平衡方程

得

等号右边的负号只说明，在图b中对所假定的方向与截面I—I上的实际扭矩相反。按照扭矩的符号规定，在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图e）。同理，在CA段内，由图c，得

在AD段内（图d），

根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况用图e表示出来，就是扭矩图。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。并规定：任一横截面上的扭矩，其扭矩矢量（右螺旋）与横截面外法线法向一致者为正，反之为负。从图中看出，最大扭矩发生于CA段内，且。

对同一根轴，若把主动轮A安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图如图所示。这时，轴的最大扭矩是：。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然后种布局比较合理。

§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件

工程中常见的轴为圆截面轴,本节研究圆截面轴扭转时横截面上的应力及其分布规律.一、试验与假设

为了分析圆截面轴的扭转应力,首先观察其变形.
　　取一等截面圆轴,并在其表面等间距地画上纵线与圆周线(如图).然后在轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭力偶.从试验中观察到(如图)：各圆周线的形状不变，仅绕轴线作相对旋转；而当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变.
　　根据上述现象，对轴内变形作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，而且，半径仍为直线.概言之，圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转.此假设称为圆轴扭转平面假设，并已得到理论与试验的证实.

二、 扭转应力的一般公式

现在，根据上述假设，进一步考虑几何、物理与静力学三方面，以建立圆轴扭转应力公式.

1. 几何方面
　　为了确定横截面上各点处的应力，需要了解轴内各点处的变形，为此，用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向纵截面，从轴内切取一楔形体来分析(图1a)

图1

根据上述假设，楔形体的变形如图中虚线所示，轴表面的矩形ABCD变为平行四边形 ，距轴线处的任一矩形abcd变为平行四边形，即均在垂直于半径的平面内发生剪切变形.设楔形体左、右两端横截面间的相对转角即扭转角为，矩abcd的切应力边为 则由图可知，由此得

2. 物理方面
　　由剪切胡克定律可知，在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比，所以，横截面上处的切应力为

其方向则垂直于该点处的半径（图1b）.
　　上式表明，扭转切应力沿截面半径线性变化，实心与空心圆截面扭转切应力分布分别如图2a与b所示.

3．静力学方面

　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　　 图3

如图3所示，在距圆心 的微面积上，作用有微剪力，它对圆心O的力矩为 .在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即

将式(a)代入上式，得

上式中的积分代表截面的极惯性矩(见附录),于是由上式，得

此即圆轴扭转变形的基本公式.
　　最后，将式(4-1)代入式(a)，得

此即圆轴扭转切应力的一般公式.
应该指出，式(4-1)与式(4-2)仅适用于圆截面轴，而且，横截面上的最大切应力不得超过材料的剪切比例极限.

4. 最大扭转切应力
由式(4-2)可知，在即圆截面边缘各点处，切应力最大，其值为

式中，比值是一个仅与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数，并用表示，即

于是，圆截面扭转的最大切应力为

可见，最大扭转应力与扭矩成正比，与抗扭截面系数成反比.
由式(4-3)与附录A的式(A-8)、式(A-9)可知，对于直径为d的圆截面，其抗扭截面系数为

而对于内径为d、外径分别为D的空心圆截面，其抗扭截面系数则为

式中，，代表内、外径的比值.

三、斜截面上的应力

1．  剪应力互等定理

上式称为剪应力互等定理。

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。

2.  圆轴扭转破坏模式的分析

扭转试验表明，对于像低碳钢这类塑性材料制成的圆轴沿横截面破坏(图6-7a)；而对于像灰铸铁这类脆性材料制成的圆轴，沿与轴线成 的螺旋面破坏(图6-7b)，现在来研究这两种破坏模式产生的原因。

从圆轴表面取一单元体（见图6-8a），该单元体表面上的应力如图6-8b所示，为纯切应力状态。由式（2-3）知，与轴线 夹角为 的任一斜截面 上应力（见图6-8c）

解得： 

从 和 的表达式可知，扭转时的应力情况随截面方向不同而不同。如果材料抗剪切的能力比抗拉伸的能力小，就会在最大切应力的截面破坏，例如低碳钢。如果材料抗拉伸能力比抗剪切能力小，就会在最大拉应力的截面破坏，例如灰铸铁。这就是图6-8两种扭转破坏模式的原因。

    塑性材料往往呈现抗剪切能力比抗拉伸能力弱，脆性材料往往呈现抗拉伸能力比抗剪切能力弱。

例  一轴AB传递的功率为，转速。轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图所示。已知，。试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘处的剪应力。

解：（1）计算扭矩，轴所受的外力偶矩为

由截面法，各横截面上的扭矩均为

（2）计算极惯性矩，AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为

（3）计算应力，AC段轴在横截面边缘处的剪应力为

CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为

四、 圆轴扭转强度条件

将材料的扭转极限应力除以安全因数n，得材料的扭转许用切应力。

因此，为了保证圆轴工作时不致因强度不够而破坏，最大扭转切应力不得超过材料的扭转许用切应力，即要求

此即圆轴扭转强度条件.对于等截面圆轴，则要求

理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力与许用应力之间存在下述关系
　　对于塑性材料， =（0.5～0.577） 　　　　　　　　　（4-11）
　　对于脆性材料， =（0.8～1.0）　　　　　　　　　　 （4-12）
式中， 代表许用拉应力.
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切用力也可利用上述关系确定.

强度计算三方面：

①        
校核强度：

②        
设计截面尺寸：

③        
计算许可载荷：

例 某传动轴，轴内的最大扭矩，若许应切应力试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量.
(1) 实心圆截面
(2) 空心圆截面轴，其内、外径的比值

解：1. 确定实心圆轴的直径
　　根据公式可知，实心圆轴的直径为

　　取

　　2. 确定空心圆轴的内、外径
　　根据式(4-6)与(4-10)可知，空心圆轴的直径为

　　而其内径则相应为

　　取

　　3．重量比较
　　上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，二者的重量比等于其横截面面积之比，即

上述数据充分说明，空心轴远比实心轴轻.

例 如图所示阶梯形轴，由两段平均半径均为的薄壁圆管焊接而成，圆管承受均匀分布的扭力矩作用.试较核圆管的强度.已知单位长度的扭力矩集度为,轴长,管的平均半径，左段管的壁厚，右段管的壁厚，许用切应力为壁厚

　　解：1. 扭矩分析
　　设固定端的支反力偶矩为壁厚，则由平衡方程壁厚

　　为了分析轴的内力，以横截面A的形心为x的轴的原点，利用截面法，在x截面处将轴切开，根据左段的平衡条件(图b)，得x截面的扭矩为

　　　　　　　　　（a）

　　可见，T是x线性函数，设以x为横坐标轴，扭矩T为纵坐标轴，则扭矩沿杆件轴线的变化情况如图c所示，截面A的扭矩最大，其值为

表示扭矩沿杆件轴线变化情况的图线(T-x曲线)，称为扭矩图

2．强度校核
　　显然，截面A为一危险截面(即可能最先发生破坏的截面).由公式可知，该截面的扭转的切应力为

　　由图a与c可以看出，横截面B为另一危险截面.由式(a)得该截面的扭矩为

　　故相应的扭转切应力为

§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件

一、圆轴的扭转变形公式

    轴的变形，用横截面间相对角位移即扭转角表示

常扭等截面圆轴

薄壁圆管：                                        

二、圆轴扭转刚度条件

    (实际工程中，通常是限制角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角)

令，那么

           刚度条件

           强度条件

(1)许用扭转角查设计标准或规范

    单位换算：

例  如图，传动轴r/min，马力，马力，马力，已知MPa，°/m，GPa。求（1）确定AB段，BC段直径。（2）轴改为外径 mm，的空心轴，比较两轴重量之比。

解：（1）1）计算外力偶矩

（N·m）

（N·m）

（N·m）

作扭矩图，如图b所示。

2）计算直径

AB段：由扭转强度条件， 

所以

  （mm）

由扭转刚度条件

  （mm）

取  （mm）

BC段：同理，由扭转强度条件得 （mm）

             由扭转刚度条件得  （mm）

取（mm）

（2）外径 mm，则内径

    （mm）

则

由于材料长度相同，所以空轴的重量为实轴重量的36%。

[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500    马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[t ]=70M Pa，[q ]=1º/m ，试确定：

 ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？②若全轴选同一直径，应为多少？

 ③主动轮与从动轮如何安排合理？

解：①图示状态下,扭矩如

图，由强度条件得：

由刚度条件得：

②全轴选同一直径时 

③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为 75mm。

§3-4 等直圆杆扭转时的应变能

一、等直圆杆扭转时的应变能

若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体，如图，作用在单元体左、右侧面上的剪力由零逐渐增至，左、右侧面相对错动量由零增至。因此剪力所作的功为

等于单元体内储存的变形能，故

以单元体的体积除得单位体积内的剪切变形能为

当剪应力在剪切比例极限以内时，剪应力与剪应变成正比，有

根据剪切胡克定律，，最终得

二、 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

图4-15是一条螺旋弹簧，当螺旋角时，簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内上，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。

1.弹簧丝横截面上的应力

根据平衡方程，以簧丝的任意横截面取出上部分为研究对象，如图4-15，剪力，扭矩。

由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15）；由引起的剪应力

所以

得到近似式

                           （4-20）

和精确式

                          （4-21）

式中：称为曲度系数（），                       （4-22）

      ，称为弹簧指数，当时，使用（4-21）

                             当时，使用（4-22）

簧丝的强度条件是

                          （4-23）

式中：—弹簧材料许用应力

2. 弹簧的变形

弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量，就是弹簧的变形，如图4-16，由于在簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为

则其单位体积的应变能是

弹簧的应变能应为

其中

积分式（3）得

由，则得到

式中是弹簧圈的平均半径。

若引入记号

则式（4-16）可写成

代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。越大则越小。

§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形

圆截面轴是最常见的受扭杆件，在工程实际中，也常常碰到一些非圆截面轴，例好矩形与椭圆形截面轴等。

一、自由扭转与限制扭转

试验与分析表明，非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲（如图）。如果横截面的翘受到限制，例如在轴的固定端处，横截面的翘曲受到固定端的限制，这时，横截面上将不仅存在切应力，而且还存在正应力。反之，如果轴扭转时各横截面均可自由翘曲，则横截面上将只有切应力而无正应力。横截面的翘曲受到限制的扭转，称为限制扭转；反之，则属于自由扭转。精确分析表明；对于一般非圆实体轴，限制扭转引起的正应力很小，实际计算时可以忽略不计；至于非圆薄壁杆，限制扭转与自由扭转的差别较大，这种问题将在薄壁结构力学中研究。这里，只讨论自由扭转问题。

二、矩形截面轴扭转

在非圆实体轴中，矩形截面轴最为常见。弹性理论指出：矩形截面轴扭转时，横截面缘各点处的切应力均平行于截面周边（图20），角点处的切应力零；最大切应力 发生在截面长边的中点处，而短边中点处的切应力也有相当大的数值。
　　上述结论与试验现象是一致的。从试验中观察到：轴表面棱角处的切应变为零；而距周边中点愈近，切应变愈大，在周边中点处，切应变最大。

图20

图21

至于横截面边缘各点处的切应力平行于截面周边，以及角点处的切应力为零的结论，也可利用切应力互等定理得到证实。如图4-21所示，若横截面边缘某点A处的切应力不平行于周边，即存在有垂直于周边的切应力分量时，则根据切应力互等定理，轴表面必存在有与其数值相等的切应力。然而，当轴表面无轴向剪切载荷作用时，，可见，，即截面边缘的切应力一定平行于周边。同样，在截面的角点处，例如B点，由于该处轴表面的切应力和均为零，B点处的切应力分量和也必为零。所以，横截面上角点处的切应力必为零。

根据研究结果，矩形截面轴的扭转切应力和以及扭转变形分别为

式中：h和b分别代表矩形截面长边和短边的长度；系数及与比值有关，其值见表4-1，从表中可以看出，当时，当时，与均接近于。所以，对于长为h、宽为的狭长矩形截面轴（图4-22a），其扭转变形与最大扭转切应力分别为

例 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的作用 ，钢的G =80GPa ，[t]=100M Pa，[q]=1º/m ，试校核

此杆的强度和刚度。

解：①查表求 a 、b

②校核强度 

③校核刚度 

综上,此杆满足强度和刚度要求。