第四章弯曲应力

§4-1 引言

杆件在横向力或弯矩作用下会发生弯曲变形，以弯曲变形为主的杆件常称作梁。轴线为直线的梁称为直梁，轴线为曲线的梁称为曲梁。当梁具有通过其轴线的纵向对称面、且作用于梁上的外力都在该对称面内时，变形后梁的轴线仍将是位于该对称面内的一条曲线，这种情况称作平面弯曲。这里主要介绍发生平面

弯曲的梁。

例如图(a)所示火车轮轴的计算简图，即分别如图(b)所示.

－、梁的计算简图

为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。

1.构件本身的简化通常取梁的轴线代替梁。

2.载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：

集中力、集中力偶和分布载荷。

3.梁的形式

（1）简支梁

(2) 悬臂梁

（2）外伸梁

静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。

超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。.

§4-2梁的内力——剪力和弯矩

如图a所示的简支梁，其两端的支座反力、可由梁的静力平衡方程求得。用假想截面将梁分为两部分，并以左段为研究对象图b,由于梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。据此，截面I―I上将产生内力，这些内力将与外力、，在梁的左段构成平衡力系。

由平衡方程，则

这一与横截面相切的内力称为横截面I―I上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。

根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面I―I的形心取矩，其力矩总和应为零，即，则

这一内力偶矩称为横截面I―I上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力和弯矩均为梁横截面上的内力，它们可以通过梁的局部平衡来确定。

剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负，如图所示；使梁的下部

产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负。

§4-3剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

一般情况下，在梁的不同横截面或不同梁段内，剪力与弯矩一般均不相同，即剪力与弯矩沿梁轴变化。
　　为了描写剪力与弯矩沿梁轴的变化情况，沿梁轴选取坐标x表示横截面的位置，并建立剪力、弯矩与坐标x间的解析关系式，即

上述关系式分别称为剪力方程与弯矩方程。

　　表示剪力与弯矩沿梁轴变化情况的另一重要方法为图示法.作图时，以x为横坐标轴，以剪力或弯矩M为纵坐标轴，分别绘制剪力与弯矩沿梁轴变化情况的曲线，上述曲线分别称为剪力图或弯矩图。
　　研究剪力与变矩沿梁轴的变化情况，对于解决梁的强度与刚度问题都是必不可少的.因此，剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图是分析弯曲问题的重要基础。

例：图a)所示简支梁，受集中力F作用，试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。

解：1.求支反力

2.分段列剪力方程和弯矩方程。

因为C截面作用一集中力F，集中力两侧梁的内力方程不同，需要分别写出。

AC段，由分离体图b)的平衡方程，得到内力方程如下

(0<<) (a)

(0≤≤) (b)

CB段，由分离体图c)的平衡方程，得到该段的内力方程如下

(c)

(≤≤) (d)

3.作剪力图与弯矩图

根据式(a)、(c)作出梁的剪力图如图d)所示；由式(b)、(d)作出梁的弯矩图如图e)所示。由图可见最大剪力发出生AC段的各横截面上，最大弯矩发生在集中力所在的C截面。其值分别

，

由剪力图还可看出，在集中力作用截面的两侧剪力值有一大小为F的突变。

§4-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系

本节研究载荷集度、剪力、弯矩三者的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中的应用。

微段的平衡：

坐标系向左为正，载荷q(x)，向上为正。

一、微(积)分关系

略去二阶微量，得

上述关系式表明：剪力图某点处的切线斜率，等于相应截面处的载荷集度；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面的剪力；而弯矩图某点处的二阶导数，则等于相应截面处的载荷集度.

从数学上看，剪力、弯矩图就是函数的图象，因此可以利用函数的各种性质，包括微分和积分性质，总结出画剪力弯矩图的快捷方法。

几何意义(用来绘制剪力弯矩图)

正向规定：轴→，P，q(由剪力、弯矩方程绘图时，不必加此限制。由微积分关系画图, 如正向规定不同，某些量会改变符号)

图：斜率=q，q=常数：直线

P点跳，(P上指，图上跳)

(任意截面)图左边面积+集中力(含支反力)

图：斜率= 点跳（顺时针，上跳）

，极值(或拐点)

凹凸性：

(任意截面)图左边面积+集中力偶(含支反力偶)

例图a)示简支梁承受均布载荷作用，载荷集度为q，梁的长度为l，试作梁的、Mz图。

解：1.求支反力

2.列内力方程

很显然由于载荷无突变，梁的剪力和弯矩各用一个函数表达式来描述。由分离体图b)的平衡得到内力方程如下

(0<x<l) (a)

(0≤x≤l) (b)

3.作、Mz图

由式(a)看出，剪力方程是线性的，求出梁两个端截面的剪力值即可作图如图c)所示。由式(b)可见，弯矩图为一抛物线。将式(b)对x导数，并令其为零

(c)

由此求得弯矩有极值的截面位置为x =l/2，将其代入式(b)，得弯矩的极大值Mzmax=ql2/8

作出的弯矩图如d)图所示。

§4-5 弯曲正应力

一. 概述

一般情况下，梁横截面上既有弯矩M，又有剪力Q.

只有法向内力元素dN=dA,才能组成M.

只有切向内力元素dQ=dA,才能组成Q.

本章讨论平面弯曲下梁横截面上的应力计算，先从纯弯曲推导，后推广至横力弯曲的一般情况。

二. 梁横截面上正应力

从三个方面来考察。

1.几何方面

发生纯弯曲(pure bending)时，剪力影响微弱，可忽略。由变形现象观察可知，变形符合平面假设。

变形现象：（1）横截面仍是平面。

（2）直线变曲线，有伸有缩。

（3）横截面与轴线仍正交。

a-b线伸长，c-d线缩短。其都为同心圆弧。若变形前a-b,c-d线至轴线的距离一样，则其伸长、缩短程度一样。沿梁高，变形协调变化。从伸到缩，总有一层不伸不缩层，称为中性层。中性层与轴线重合。

中性轴(neutral axis)----中性层与横截面之交线。

找任意位置处与轴线平行的线段的应变。如梁微段长dx的变形后的o-o线。因为应力等于弹性模量乘以线应变，故先找线应变。

距中性层等远处纤维伸长、缩短未变，与z轴方向位置无关。中性层曲率半径，故代入应变式后，

2．物理方面

无因纯弯曲而引起的纤维挤压。E相等，拉、压均有

，正应力与所求点到中性轴距离成正比。

3．静力学方面

只可能组成三个内力分量。

由求内力的截面法知，内力只有M.所以

将代入上三式：

，说明z轴须过形心。

，y是对称轴。

，Iz（moment of inertia）为截面对z轴的惯性矩。所以，EIz为抗弯刚度。

将上式代入正应力表达式：，此即弯曲正应力公式。

其中M----弯矩，y----所求点距中性轴距离，Iz----惯性矩。

正应力的正负由y决定。基本单位：Pa.

截面上最大正应力：，令，则

其中Wz----抗弯截面模量。

横力弯曲时，除了内力弯矩外，还有内力剪力，但由于剪力一般情况下引起的变形很小，基本不影响以上推导，故上式推广到横力弯曲情况。

例图示一用铸铁制成的Ⅱ字形截面梁。已知：截面图形对形心轴的惯性矩Iz=4.5×107mm4，y1=50mm，y2 = 140mm；材料许用拉应力及许用压应力分别为[ t] = 30MPa，[ c] = 140MPa。试按正应力强度条件校核强度。

解：画弯矩图，由图可见B、C两截面弯矩符号不同。注意到截面上的中性轴为非对称轴，且材料的拉、压许用应力数值不等，故B、C两截面均可能为危险截面。

B截面
　　　　　
　　　　　
C截面　

最大拉应力在C截面，最大压应力在B截面。且，而虽略大于[]，但未超过5%，故可认为弯曲正应力基本
上能满足强度要求。

§4-6 横截面上的弯曲剪应力

梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有剪应力。但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，而是在正应力公式仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1 矩形截面梁的弯曲切应力

图示矩形截面梁，在纵向对称面内承受任意载荷作用。设横截面的高度为，

宽度为b ,现在研究弯曲切应力的分布规律。
对弯曲切应力分布作如下假设：横截面上各点

处的切应力，均平行于剪力或截面侧边，并沿截

面宽度均匀分布。

现在研究弯曲切应力沿截面高度的变化规律。
现欲求距中性轴z为y的横线处的剪应力。过用平行于中性层的纵截面自dx微段中截出一微块(b)。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为和，其中

（a）

(b)

式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性轴为处的正应力，。

由微块沿x方向的平衡条件，得

（c）

将式（a）和式（b）代入式（c），得

故

因，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为

式中：为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，而则代表处横线一侧的部分截面(面积为A)对轴的静矩(图5-28)，其值为：

将上式及代入式(5-11)，于是得

由此可见：矩形截面梁的弯曲切应力沿截高度呈抛物线分布（图5-28b）；在截面的上、下边缘，切应力；在中性轴处，切应力最大，其值为

2．圆形截面梁的弯曲切应力

在圆形截面上，任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式

求得

式中，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的倍。

3．工字形截面梁的弯曲切应力

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图所示。最大剪应力在中性轴上，其值为

式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。

计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97），因此也可用下式计算的近似值

式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。

§4-6 梁的强度条件

一、弯曲正应力强度条件

最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而该处的切应力一般为零或很小，因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向受力状态，所以，弯曲正应力强度条件为

对于等截面直梁，上式变为

上式仅适用于许用拉应力[σt]与许用压应力[σc]相同的梁，如果二者不同，例如铸铁等脆性材料的许用压应力超过许用拉应力，则应按拉伸与压缩分别进行强度计算。

此式一般可进行三方面工作：

1.强度校核。，考核强度是否够。

2.设计截面。，按正应力强度，使梁的材料最省。

3．确定最大荷载。，按正应力强度，使物尽其用。

二、弯曲切应力强度条件

最大弯曲切应力通常发生在中性轴上各点处，而该处的弯曲正应力为零，因此，最大弯曲切应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件则为

即要求梁内的最大弯曲切应力不超过材料在纯剪切时的许用切应力。对于等截面直梁，上式变为

三、需要校核剪应力的几种特殊情况：

（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时，要校核剪应力。

（2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。

（3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。

§4-7提高弯曲强度的措施

提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：采用梁的合理截面、减小最大弯矩和提高材料的力学性能。

梁的合理截面从两方面考虑：一是同一截面，二是全梁。

一、.梁的合理截面

梁的合理截面从两方面考虑：一是同一截面，二是全梁。为减轻自重，节约使用材料，根据梁截面应力分布情况，参照材料力学性能，弯矩一定时为梁选用合理截面。梁强度常由横截面正应力控制，弯矩一定，最大正应力与抗弯截面模量成反比，而W与高度平方成正比。面积不变时，材料重量不变。要使正应力小，只有尽可能地使抗弯截面模量大，那就最好增加其高度，使面积尽量分布在离中性轴较远的各点处。这样，惯性矩就大，Wz也跟着增大。此外，距中性轴最远处分别有最大拉应力和最大压应力。为了充分发挥材料的潜力，应尽量使材料沿整个截面同时达到相应的许用应力，这就是合理截面的出发点。

塑性材料梁，如钢梁，拉压许用应力相等，为满足使同时达到许用应力的要求，截面形状应使得中性轴为对称轴。脆性材料梁使用T形截面较合理。

措施：

使Wz增大，即增加梁高。

使截面同时达到许用应力。（塑、脆性材料不同，前者用对称性截面，后者用非对称截面）

二、采用变截面梁。

对于等截面梁，除所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。因此，为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。弯矩不定时，弯矩图指出弯矩沿梁轴线的变化，一般危险面只一处、或一段，这样，就未充分利用小弯矩处的材料。改进措施就是采用变截面梁。措施：

因为，所以尽量使各截面应力相等。W(x)即为轴线自变量的函数。

若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴。

三.、减小最大弯矩

1）.改变加载的位置或加载方式

首先，可以通过改变加载位置或加载方式达到减小最大弯矩的目的。如当集中力作用在简支梁跨度中间时，其最大弯矩为；当载荷的作用点移到梁的一侧，如距左侧处，则最大弯矩变为，是原最大弯矩的倍。当载荷的位置不能改变时，可以把集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷，从而减小最大弯矩。例如利用副梁把作用于跨中的集中力分散为两个集中力,而使最大弯矩降低为。利用副梁来达到分散载荷，减小最大弯矩是工程中经常采用的方法。