3.2三维晶格的振动

1.模型

设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，

各原子的质量分别为

原胞中这n个原子平衡时的相对位矢分别为                 。

表示平衡时顶点位矢为    的原胞内第s个原子的位矢；

表示顶点位矢为   的原胞内第s个原子离开平衡位置在方向的位移。

2.运动方程和解

                    (=1,2,3；s=1,2,3,···,n) [ (=3,s=n)共有3n个方程]

                 在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。

试探解：

                     可得到3n 个线性齐次方程。

As有非零解,必须其系数行列式为零           3n个的实根

在3n个实根中，其中有3个当波矢q      0时,

                              这3支格波称为声学支格波。

其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为光学支格波。

3. 波矢q的取值和范围

设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：

沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞,

根据玻恩---卡门周期性条件：

(1、2、3为整数)

波矢    具有倒格矢的量纲，得出:                                   

三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中                  为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。

每个波矢代表点占有的体积为：

波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目:

每个波矢代表点占有的体积为：

将     的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简约布里渊区。

波矢可取的数目：

晶格振动频率数目:

设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子, 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N，

格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。

m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n是原胞中原子的数目。