Ethan Frome

§14-1质系动能定理

1．质点动能定理

牛顿第二定律给出

上式两边点乘，得

因，于是上式可写为

或（14-1）

式中称为质点的动能，称为力的元功。参看图14-1。式（14-1）称为质点动能定理的微分形式，即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。

将上式积分，得

（14-2）

式中为作用于质点上的力在有限路程上的功。式（14-2）为质点动能定理的积分形式，即作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改变量。

2．质系动能定理

设质系由个质点组成，其中任意一质点，质量为，速度为，作用于该质点上的力为。根据质点动能定理的微分形式有

个方程相加，得

交换微分及求和的次序，有

式中为质系内各质点动能的和，称为质系的动能，常用表示，所以质系动能

（14-3）

为作用于质系上所有力的元功之和。所以得出质系动能定理的微分形式：在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和。即

（14-4）

对上式积分，得

（14-5）

和分别表示质系在任意有限路程的运动中起点和终点的动能。式（14-5）为质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和。

§14-2力的功

1．力的功的概念

力的元功：如图14-2所示，质点在任意变力作用下沿曲线运动，力在无限小位移中可视为常力，小弧段可视为直线，可视为沿点的切线。在一无限小位移中力所做的功称为元功，以表示。所以力的元功为

（14-6）

或写成直角坐标形式

（14-7）

在一般情况下，上式右边不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号而不用。

力在有限路程上的功：力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。即

（14-8）

或（14-9）

功的单位为焦耳(J),。

2．常见力的功

（1）重力的功

如图14-3所示，质点沿轨迹由运动到，其重力在直角坐标轴上的投影为

所以重力的功为

（14-10）

由此可见，重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。

对于质系，所有质点重力做功之和为

由质心坐标公式，有

由此可得

（14-11）

式中为质系的质量，为质系运动起始与终了位置质心的高度差。所以质系重力的功也与质心运动轨迹的形状无关。

（2）弹性力的功

设质点受指向固定中心点的弹性力作用，当质点的矢径表示为时，在弹性限度内弹性力可表示为：

这里，为弹簧的刚度系数，为弹簧的原长，为沿质点矢径方向的单位矢量。

弹性力在图14-4所示有限路程上的功为

因为

于是

或（14-12）

式中分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。由式（14-12）可知，弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。

（3）定轴转动刚体上作用力的功

如图14-5所示，作用于定轴转动刚体上的力的元功为

而

于是（14-13）

力在有限转动中的功为

（14-14）

（4）平面运动刚体上力系的功

如图14-6所示，刚体上任意一点的无限小位移可写为

其中为质心的无限小位移，为点绕质心的无限小转动位移。作用于点上的力的元功为

而

作用于刚体上的全部力的元功为

（14-15）

其中为力系的主矢量，为力系对质心的主矩。

在有限路程上的功为

（14-16）

3．质系内力的功

如图14-7所示，两质点间有相互作用的内力和，，两点对于固定点的矢径分别为和，和的元功之和为

，考虑到与方向相反，所以有

（14-17）

式（14-17）说明，当质系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零。如汽车发动机汽缸内膨胀的气体对活塞和汽缸的作用力都是内力，内力的功的和不为零，内力的功使汽车的动能增加。

读者试分析当自行车爬坡时，那些力做功？若车轮只滚不滑，内力做功吗？

在特殊情况下，如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力的功之和恒等于零。

4．理想约束

约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束，即。常见的理想约束有

（1）光滑固定面和辊轴约束

其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。

（2）光滑铰链或轴承约束

由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。

（3）刚性连接的约束

这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。如图14-8(c)。

（4）联结两个刚体的铰

如图14-8(a)所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即，两力在点的微小位移上的元功之和等于零，即

（5）柔性而不可伸长的绳索约束

如图14-8(b)所示，绳索两端的约束力和大小相等，即，由于绳索不可伸长，所以两点的微小位移和在绳索中心线上的投影必相等，即，因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即

以上所介绍的理想约束，其约束力的元功之和均等于零。质系内力的功之和一般不为零，因此在计算力的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。

§14-3质系和刚体的动能

1. 质系的动能

设质系由个质点组成，任一质点在某瞬时的动能为，质系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质系的动能，以表示，即

` （14-18）

动能是描述质系运动强度的一个物理量。动能的单位与功的单位相同。

2．平动刚体的动能

当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为

（14-19）

3．定轴转动刚体的动能

当刚体绕固定轴转动时，如下页图14-9所示，其上任一点的速度为

于是绕定轴转动刚体的动能为

为刚体对轴的转动惯量，所以得

（14-20）

4．平面运动刚体的动能

刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动，动能可写为

根据转动惯量的平行轴定理有

代入上式得

而是质心的速度的大小，因此

（14-21）

式(14-20)表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。

§14-4动能定理应用举例

例14-1质量为的物块，自高度处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图14-11所示。弹簧的刚性系数为，不计弹簧和板的质量。求弹簧的最大变形。

解：分为两个阶段

1．重物由位置Ⅰ落到板上。在这一过程中，只有重力做功，应用动能定理，有

求得

2．物块继续向下运动，弹簧被压缩，物块速度逐渐减小，当速度等于零时，弹簧被压缩到最大变形。在这一过程中，重力和弹性力均做功。应用动能定理，有

解得

由于弹簧的变形量是正值，因此取正号，即

·上述两个阶段，也可以合在一起考虑，即

解得的结果与前面所得相同。

·上式说明，在物块从位置Ⅰ到位置Ⅲ的运动过程中，重力做正功，弹性力做负功，恰好抵消，因此物块运动始末位置的动能是相同的。显然，物块在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑始末位置之间动能是如何变化的。

例14-2提升机构如图14-12所示，设启动时电动机的转矩视为常量，大齿轮及卷筒对于轴的转动惯量为，小齿轮、联轴节及电动机转子对于轴的转动惯量为，被提升的重物重为，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为及。略去摩擦及钢丝绳质量，求重物从静止开始上升距离时的速度及加速度。

解：1、以整个系统（包括电机）为研究对象；

2、计算主动力的功：系统所受的约束为理想约束，只有电动机的转矩和重力做功，则

3、计算系统始末位置的动能：系统由静止状态开始运动，所以初始位置的动能

当重物上升高度时，此时重物的速度，轴和的角速度分别为和，系统在此位置的动能为

4、应用动能定理，并求解重物的速度：

列出方程

运动学关系

得

①

所以，重物的速度

·上式建立了重物的速度与上升距离之间的关系。在一般情况下，对于一个自由度系统应用动能定理可直接建立系统的速度与系统的位移之间的关系。

5、求重物的加速度

将式①两边对时间求导数，并注意到及的关系，可得，

由此得

·由上面加速度的表达式中可看出，分母恒为正值。在启动时，故要求驱动力矩，启动后若重物匀速上升，，此时。

例14-3卷扬机如图14-13所示。鼓轮在常力偶矩作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为,质量为，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为，质量为，质量均匀分布。设斜面的倾角为，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心的速度与其路程之间的关系。

解：1、以鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为分析对象；

2、分析系统的受力并计算力的功：主动力有重力和以及主动力偶矩；约束力有及，如图14-13所示。因为点的位移为零，所以的功为零，而圆柱体沿斜面只滚不滑，轮缘上与斜面的接触点为瞬心，法向约束力与静滑动摩擦力也不做功。因此所分析的系统为具有理想约束的一个自由度系统。主动力的功为

3、分析系统的运动并计算动能：

系统的动能

式中分别为鼓轮对于中心轴，圆柱体对于过质心的轴的转动惯量，有

分别为鼓轮和圆柱体的角速度，有如下关系

代入后得

4、应用质系动能定理并求解：质系动能定理

有

所以的，得

·读者还可以继续求圆柱体中心的加速度。

小结

1．具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的。

2．应用动能定理解题的步骤：

（1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象；

（2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功；

（3）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能；

（4）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；

（5）对问题的进一步分析与讨论。

§14-5功率、功率方程、机械效率

1功率

单位时间内力所做的功。用功率来衡量机器做功的快慢程度，是衡量机器性能的一项重要指标。

力的元功为

则力的功率为

（14-22）

上式表明：力的功率等于力在力的作用点的速度方向上的投影与速度的乘积。

力矩或转矩的元功为

则力矩或转矩的功率为

（14-23）

上式表明：力矩或转矩的功率等于力矩与物体转动的角速度的乘积。

功率的单位是焦耳/秒，称为瓦

若转动角速度用转速（单位为）给出，转矩的单位为，则式（14-23）可改写为工程中常用的形式

（14-24）

或写为转矩的表达式

（14-25）

2．功率方程

任何机器工作时必须输入一定的功，用表示，机器做了有用功，用表示，同时机器要克服无用阻力，消耗一部分功，用表示。根据动能定理的微分形式，有

将上式两边除以对应的时间间隔，并以分别表示发动机输入的功率，有用阻力消耗的功率和无用阻力消耗的功率，则

（14-26）

上式称为机器的功率方程，它表示任一机器输入、输出功率和机器动能变化率之间的关系。

当机器启动或加速运动时，,故要求，即输入功率要大于输出功率；

当机器停车或负荷突然增加时，机器做减速运动，，此时，即输入功率小于输出功率；

当机器匀速运转时，，，即输入功率和输出功率相等，称为功率平衡。

3．机械效率

机械在稳定运转时，有用输出功率与输入功率之比。用表示，即

（14-27）

机械效率说明机械对于输入能量的有效利用程度，是评价机械质量的指标之一。它与机械的传动方式、制造精度与工作条件有关，一般情况下。

例14-4车床电动机的功率，当稳定运转时主轴的转速为，如图14-14所示，设转动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，工件的直径，求此转速下的切削力。

解：车床稳定运转时，，输入功率与输出功率相等。即

而，代入上式得

表示切削力的功率，如图14-14所示，即

得

例14-5胶带运输机如图14-15所示，已知胶带的速度，运输量，提升高度，机械效率。求运输机所需的电动机功率。

解：取整段胶带上被运输的物料为研究对象。

在时间间隔内有质量为的物料被提升到高度处，则重力所作的功为

在时间间隔内有有同样多的物料又补充到胶带上，而且它们的速度由零变为，因此系统动能的变化为

设电动机的功率为，由于机械效率，所以在秒内所做的有用功为

由动能定理

得

消去后得

可根据算出的功率选择所需的电动机。

§14-6势力场、势能、机械能守恒定律

1势力场：

如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。如重力、弹性力及万有引力都是势力。

2．势能、势能函数

势能：在势力场中质点从某一位置移至选定的基点的过程中势力所做的功。以表示，即

（14-28）

（1）重力场中的势能：如图14-16所示重力的势能为

为了计算方便，取基点的位置，上式可写为

对于质点系或刚体

（14-29）

其中是系统的重量，是质心的坐标。

（2）弹性力场中的势能：在弹性力场中

式中和分别为弹簧端点在和时弹簧的变形量。如取弹簧的自然位置为基点，有，于是得

（14-30）

（3）万有引力场中的势能：如图14-18所示，为质量为的物体作用于质量为的物体上的万有引力，取点为势能基点，则万有引力在点的势能为

得

如势能基点选在无穷远处，即，得

（14-31）

势能函数：由上面的讨论可以看出，质点或质系的势能仅与质点或质心的位置有关，在一般情形下，质点或质系的势能只是质点或质心坐标的单值连续函数，这个函数称为势能函数，可表示为

势能函数相等的各点所组成的曲面称为等势面，表示为

如重力场的等势面是不同高度的水平面，如图14-19(a)。弹性力场的等势面是以弹簧固定端为中心的球面，如图14-19(b)。地球引力场的等势面是以地心为中心的不同半径的同心球面。

当时的等势面称为零等势面，若选零等势面为势能的基面（零势面），某一位置的势能等于势能函数在该位置的函数值。例如在重力场中，一般选水平面为零势面；在弹性力场中选弹簧自由长度，初变形为零处为零势能位置；万有引力场中选无穷远处为零势能位置。

3．机械能守恒定律

保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为势力的质系称为保守系统。

对于保守系统，动能定理

式中应为系统中所有势力的功之和。

势力的功与路径无关，可通过势能计算。如图14-20所示，设质点在和处的势能分别为和。如以点为零势点，则

因势力的功与路径无关

上述结论可直接推广到质系：即质系从位置Ⅰ运动到位置Ⅱ时，势力的功等于质系在位置Ⅰ时的势能和在位置Ⅱ时的势能之差。由此得

式中和分别为质系在位置Ⅰ时的势能和在位置Ⅱ时的势能。所以

（常量）（14-32）

，即质系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。

式（14-32）称为质系机械能守恒定律，即保守系统在运动过程中，其机械能保持不变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。

因为势力场具有机械能守恒的特性，因此势力场又称为保守力场，而势力又称为保守力。质系在非保守力作用下运动时，则机械能不守恒。例如摩擦力做功时总是使机械能减少，但是减少的能量并未消失，而是转化为另一形式的能量（热能），总能量仍然是守恒的。如果考虑了各种形式的能量（如电磁能、化学能、热能等）的转化时，对于整个系统来说，总的能量仍是守恒的，这就是普遍形式的能量守恒定律，机械能守恒定律只不过是它的特殊情形。

例14-6试用机械能守恒定律解例14-1题。

解：选图14-11中位置Ⅰ作为运动的初始位置，位置Ⅲ作为运动的终了位置，则系统的动能

势能的零位可任意选，这里不妨取弹簧未变形时的位置作为弹性力势能的零位，取终了位置Ⅲ作为重力势能的零位。于是初始位置与终了位置的势能分别为

根据机械能守恒定律

将上述各值代入后得

与例14-1中所得结果完全相同。读者可选择不同的势能零位进行分析计算。

例14-7计算第二宇宙速度。

解：第二宇宙速度是物体能脱离地球引力作星际航行的逃逸速度。地球引力的大小为

式中分别为物体和地球的质量，为物体到地心的距离。当物体在地球表面时有

故

式中为地球的半径。物体在地球引力场内运动时，它的机械能是守恒的，设离地心无穷远处为势能零点，如图14-21所示在地球表面附近物体的速度为，根据机械能守恒定律有

欲使物体脱离地球引力而永不返回，应使物体在无穷远处其动能为零，即时，并考虑到，有

得

取地球半径，代入上式可解得

此即为第二宇宙速度。

§14-7普遍定理的综合应用

质系动力学普遍定理包括质系动量定理、质系动量矩定理、质系动能定理。它们以不同的形式建立了质系的运动与受力之间的关系。动量定理和动量矩定理分别建立了质系动量和动量矩与质系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之间的关系，它们是矢量形式的。动能定理建立了质系的动能与作用于质系上的力的功之间的关系，是标量形式的。

作用在系统上的力在动量和动量矩定理中一般按外力和内力分类。在动能定理中力一般按主动力和约束力分类，在理想约束的情形下约束力的功之和为零。

应用质系普遍定理可以解决质系动力学的两类问题。在实际应用中，对于具有理想约束的一个自由度系统，经常用动能定理解决已知力求运动的问题。在主动力为势力的情形下还可以应用机械能守恒定律求系统的运动。系统的运动规律确定后，一般用动量或动量矩定理求未知约束力。

例14-8质量为，半径为的均质圆柱体，在半径为的固定大圆槽内作无滑动的滚动。试列写系统的运动微分方程。