教学基本内容 第一部分 复变函数：区域，复变函数的概念，复变函数的极限和连续的概念，复变函数的导数，解析函数，复变函数解析的充要条件，复变函数的积分，Cauchy-Courcas定理, 复合闭路定理，柯西积分公式，调和函数，复数项级数收敛、发散及绝对收敛，幂级数收敛圆的概念、收敛半径，泰勒定理，罗朗定理，解析函数展开为幂级数的方法，函数展开为罗朗级数的间接方法，留数的概念，极点处留数的求法，孤立奇点的分类与性质，留数计算定积分的方法。 第二部 积分变换：付氏积分的概念，付氏积分定理，δ函数及其付氏变换，频谱的概念，求付氏变换和付氏逆变换的方法，付氏变换的性质，卷积的概念，卷积定理，卷积的计算方法，拉氏变换的概念，拉氏变换存在定理，求拉氏变换的方法，拉氏变换的性质，拉氏逆变换的概念，求拉氏逆变换的方法，卷积的概念，卷积定理，卷积的计算方法，用拉氏变换求解微分方程或微分方程组的方法。 2、教学基本要求 本课程内容要求的高低用不同词汇加以区分：从高到低以“掌握”、“理解”、“了解”、三级区分； “会”或“能”相当于“了解”。 （一）复数与复变函数 （1）掌握复数的各种表示方法及其运算。 （2）了解区域的概念。 （3）理解复变函数的概念。 （4）掌握复变函数的极限和连续的概念。 （5）理解复变函数的导数及解析函数的概念 （6）掌握复变函数解析的充要条件。 （7）知道常见初等解析函数。 重 点：复变函数的概念，解析函数的基本概念 难 点：解析函数的概念 （二）复变函数的积分 （1）理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。 （2）熟练掌握Cauchy-Courcas定理, 复合闭路定理，柯西积分公式。 （3）了解Cauchy-Courcas定理、复合闭路定理、柯西积分公式的证明。 （4）会求解析函数的高阶导数。 （5）掌握解析函数与调和函数基本概念。 重 点：Cauchy-Courcas定理, 复合闭路定理，柯西积分公式 难 点：Cauchy-Courcas定理, 复合闭路定理，柯西积分公式 （三）级数 （1）理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。 （2）了解幂级数收敛圆的概念，掌握收敛半径的求法，了解收敛圆内的一些基本性质。 （3）了解泰勒定理，会 ez、sinz、Ln(1+z)、(1+z)a的麦克劳林展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。 （4） 了解罗朗定理，掌握将简单的函数展开为罗朗级数的间接方法。 重 点：收敛半径的求法，解析函数展开为幂级数的方法，简单的函数展开为罗朗级数的间接方法 难 点：解析函数展开为幂级数的方法，简单的函数展开为罗朗级数的间接方法 （四）留数理论及其应用 （1）掌握极点处留数的求法以及用留数求复变函数沿闭路积分的方法。 （2）掌握孤立奇点的分类与性质 （3）了解孤立奇点性质的证明 （4）掌握留数的概念和留数计算定积分的方法 重 点：极点处留数的求法，用留数求复变函数沿闭路积分的方法，留数计算定积分的方法 难 点：用留数求复变函数沿闭路积分的方法，留数计算定积分的方法 （五）付氏变换 （1）了解付氏积分的概念及付氏积分定理。 （2）了解δ函数及其付氏变换，了解频谱的概念，掌握求付氏变换和付氏逆变换的方法，会计算简单的问题。 （3） 掌握付氏变换的性质并能用于计算，了解查表方法。 （4） 了解卷积的概念及卷积定理，掌握卷积的计算方法。 重 点：求付氏变换和付氏逆变换的方法，卷积的计算方法 难 点：求付氏变换和付氏逆变换的方法 （六）拉氏变换 （1）了解拉氏变换的概念及拉氏变换存在定理。掌握求拉氏变换的方法，会解一般的问题。 （2）掌握拉氏变换的性质并能用于计算，了解查表方法。 （3）了解拉氏逆变换的概念，掌握求拉氏逆变换的方法。 （4）了解卷积的概念及卷积定理，掌握卷积的计算方法。 （5）掌握用拉氏变换求解微分方程或微分方程组的方法。 重 点：求拉氏变换的方法，求拉氏逆变换的方法 难 点：求拉氏变换的方法，求拉氏逆变换的方法 三、本课程与其它相关课程的联系与分工 本课程应在学完“高等数学”后开设，本课程为专业基础课程，为后续专业课程的理论基础。